Per risolvere questo esercizio, segui i seguenti passaggi:
(a) Dimensione e base di UUU e VVV:

1. Per UUU: La condizione è x1+x3=0x_1 + x_3 = 0x1+x3=0, quindi x1=−x3x_1 = -x_3x1=−x3. Quindi ogni vettore in UUU avrà la forma (−x3,x2,x3,x4)\left( -x_3, x_2, x_3, x_4 \right)(−x3,x2,x3,x4). La base di UUU è data dai vettori indipendenti che generano il sottospazio:
{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}\left\{ (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di UUU è 3.

2. Per VVV: La condizione è x1−x3=0x_1 - x_3 = 0x1−x3=0 e x2=0x_2 = 0x2=0, quindi x1=x3x_1 = x_3x1=x3 e x2=0x_2 = 0x2=0. Ogni vettore in VVV ha la forma (x3,0,x3,x4)(x_3, 0, x_3, x_4)(x3,0,x3,x4). La base di VVV è data dai vettori:
{(1,0,1,0),(0,0,0,1)}\left\{ (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(1,0,1,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di VVV è 2.

(b) Dimensione e base di U+VU + VU+V: L'unione di UUU e VVV si ottiene combinando le basi di UUU e VVV, tenendo conto di eventuali vettori linearmente dipendenti. La base di U+VU + VU+V è:
{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)}\left\{ (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(−1,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)}
La dimensione di U+VU + VU+V è 4.

(c) Dimensione e base di U∩VU \cap VU∩V: L'intersezione di UUU e VVV contiene i vettori che soddisfano sia x1+x3=0x_1 + x_3 = 0x1+x3=0 che x1−x3=0x_1 - x_3 = 0x1−x3=0, da cui x1=0x_1 = 0x1=0 e x3=0x_3 = 0x3=0. I vettori in U∩VU \cap VU∩V sono della forma (0,x2,0,x4)(0, x_2, 0, x_4)(0,x2,0,x4). La base di U∩VU \cap VU∩V è:
{(0,1,0,0),(0,0,0,1)}\left\{ (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) \right\}{(0,1,0,0),(0,0,0,1)}

La dimensione di U∩VU \cap VU∩V è 2.