Per studiare la convergenza della serie

∑n=1∞sin⁡(n!)2[−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)]\sum_{n=1}^{\infty} \sin(n!) 2^{[-n^2 - \log(n) + \cos(n)]}n=1∑∞sin(n!)2[−n2−log(n)+cos(n)]
puoi seguire questi passi:

1. Comportamento di sin⁡(n!)\sin(n!)sin(n!): Poiché sin⁡(n!)\sin(n!)sin(n!) è limitato, ovvero ∣sin⁡(n!)∣≤1|\sin(n!)| \leq 1∣sin(n!)∣≤1, non influisce sul comportamento asintotico della serie.

2. Comportamento dell'esponente: L'esponente dell'espressione 2[−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)]2^{[-n^2 - \log(n) + \cos(n)]}2[−n2−log(n)+cos(n)] è dominato dal termine −n2-n^2−n2, poiché cresce molto più rapidamente rispetto agli altri termini (logaritmico e coseno). Questo porta a un rapido decadimento del termine 2−n2−log⁡(n)+cos⁡(n)2^{-n^2 - \log(n) + \cos(n)}2−n2−log(n)+cos(n) per valori crescenti di nnn.

3. Test del confronto: Poiché l'espressione esponenziale decresce molto rapidamente, possiamo confrontare questa serie con una serie convergente, come ∑2−n2\sum 2^{-n^2}∑2−n2, che converge rapidamente.

Conclusione: La serie converge, grazie al rapido decadimento dell'esponente −n2-n^2−n2.