Per normalizzare la funzione f(x)=x2(1−x)2f(x) = x^2(1-x)^2f(x)=x2(1−x)2 nell'intervallo 0≤x≤20 \leq x \leq 20≤x≤2, bisogna calcolare la costante di normalizzazione CCC in modo che l'integrale della funzione moltiplicata per CCC sia uguale a 1:
∫02C⋅x2(1−x)2 dx=1\int_0^2 C \cdot x^2(1-x)^2 \, dx = 1∫02C⋅x2(1−x)2dx=1
Una volta trovata CCC, la funzione normalizzata sarà fnorm(x)=C⋅x2(1−x)2f_{\text{norm}}(x) = C \cdot x^2(1-x)^2fnorm(x)=C⋅x2(1−x)2.
Per calcolare la media, la mediana e la moda, si utilizzano gli integrali:
• Media (valore atteso): μ=∫02x⋅fnorm(x) dx\mu = \int_0^2 x \cdot f_{\text{norm}}(x) \, dxμ=∫02x⋅fnorm(x)dx
• Mediana: risolvere ∫0mfnorm(x) dx=0.5\int_0^m f_{\text{norm}}(x) \, dx = 0.5∫0mfnorm(x)dx=0.5, dove mmm è il punto in cui il 50% della distribuzione è sotto la curva.
• Moda: trovare il massimo di f(x)f(x)f(x) nell'intervallo dato.
Sì, gli integrali sono necessari per tutti i calcoli.