Come definire il moto di puro rotolamento del corpo rigido?

[reanto]

Definire il moto di puro rotolamento del corpo rigido e di un disco di raggio R dotato di questo moto su un piano orizzontale, ricavare l’espressione che lega la velocità del centro di massa alla velocità angolare.

[Marino]

Ciao,
il moto di puro rotolamento è un tipo di moto di un corpo rigido in cui il corpo si muove in modo che ogni punto sul corpo rimanga in contatto con la superficie su cui si trova, e la velocità di traslazione del centro di massa è direttamente proporzionale alla sua velocità angolare. In altre parole, il corpo ruota intorno al suo centro di massa mentre si sposta lungo la superficie senza scivolare.

Consideriamo un disco di raggio R che si muove in questo modo su un piano orizzontale. Sia v la velocità del centro di massa del disco e ω la sua velocità angolare.

Per il disco in rotolamento, la velocità del punto sulla circonferenza è data da:

v_circonferenza = R * ω

Questo perché ogni punto sulla circonferenza descrive un arco di lunghezza R quando il disco compie una rotazione di un angolo radiano ω. Quindi, la velocità tangenziale del punto sulla circonferenza è la distanza percorsa (R) divisa dal tempo impiegato per percorrere tale distanza (che è l'angolo radiano ω).

D'altro canto, la velocità del centro di massa (v) del disco è la media tra la velocità del punto sulla circonferenza e la velocità dovuta alla rotazione attorno al centro di massa. Poiché quest'ultimo contributo è nullo (dato che il centro di massa è l'asse di rotazione), abbiamo:

v = v_circonferenza = R * ω

Quindi, l'espressione che lega la velocità del centro di massa (v) alla velocità angolare (ω) di un disco in rotolamento su un piano orizzontale è:

v = R * ω

Questa relazione mostra che la velocità del centro di massa è proporzionale alla velocità angolare e dipende anche dal raggio del disco. Se il disco avesse una velocità angolare positiva (rotazione in senso antiorario), il centro di massa si muoverebbe nella stessa direzione della rotazione. Se la velocità angolare fosse negativa (rotazione in senso orario), il centro di massa si muoverebbe nella direzione opposta alla rotazione.