Come determinare la perpendicolare comune alle due rette r e s?

[reanto]

Per due rette dello spazio cartesiano in un sistema di riferimento ortogonale
r: x+y-z=1, 2x+y-z=2
s:x=2-2t y=t-1 z=-2
(a)determinare la perpendicolare comune a r ed s
(b) determinare la distanza di r ed s

[Abramo]

Ciao,
per determinare la perpendicolare comune alle due rette r e s, dobbiamo trovare un vettore direttore per ciascuna retta e calcolare il loro prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale darà il vettore direttore della retta perpendicolare comune alle due rette.

(a) Trovare il vettore direttore per la retta r:
La retta r è definita dai seguenti coefficienti delle variabili: x+y-z=1, 2x+y-z=2.
Per trovare un vettore direttore, prendiamo i coefficienti di x, y e z senza il termine noto e li mettiamo in un vettore:

v_r = [1, 1, -1]

(b) Trovare il vettore direttore per la retta s:
La retta s è definita dai parametri t come segue: x=2-2t, y=t-1, z=-2.
Il vettore direttore per la retta s sarà il coefficiente dei parametri t:

v_s = [-2, 1, 0]

Calcolare il prodotto vettoriale tra v_r e v_s:
Per calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori, utilizziamo la seguente formula:

v_perpendicolare_comune = v_r x v_s

Il calcolo del prodotto vettoriale tra v_r e v_s è il seguente:

v_perpendicolare_comune = [(-1*1) - (1*1), (-1*(-2)) - ((-1)*(-2)), (1*1) - (-1*(-2))]
= [-2, 0, -3]

Quindi, il vettore direttore della perpendicolare comune alle rette r e s è [-2, 0, -3].

(b) Determinare la distanza tra r e s:
Per determinare la distanza tra due rette nello spazio, dobbiamo trovare la distanza tra un punto qualsiasi su una retta e l'altra retta. Nel nostro caso, possiamo scegliere un punto sull'una delle due rette e calcolare la distanza rispetto all'altra retta.

Prendiamo un punto sulla retta s, ad esempio quando t = 0:
Punto sulla retta s: P(2, -1, -2)

La distanza tra la retta r e il punto P può essere calcolata utilizzando la formula della distanza tra un punto e una retta:

distanza = |(P - P_0) · v_r| / |v_r|

dove P_0 è un punto qualsiasi sulla retta r e v_r è il vettore direttore della retta r.

Scegliamo P_0 come (0, 0, 1) (un punto che soddisfa l'equazione della retta r) e calcoliamo la distanza:

distanza = |(P - (0, 0, 1)) · v_r| / |v_r|
= |(2, -1, -2 - (0, 0, 1)) · (1, 1, -1)| / |(1, 1, -1)|
= |(2, -1, -3) · (1, 1, -1)| / |(1, 1, -1)|
= |2 + (-1) + 3| / √(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
= 4 / √3

Quindi, la distanza tra le rette r e s è 4 / √3.