Determinare la matrice di passaggio dalla base B alla base S

[reanto]

Sia [e1,e2,e3] la base canonica dello spazio vettoriale R^3
(a)Provare che B=[e1,e2,e1+e3] è anche una base per R^3
(b)Per l’insieme S di tre vettori
S=[u1,u2,u3] dove u1=(1,2,3) u2=(2,3,1) u3=(3,1,2)
Dimostrare che S forma una base per R^3
(c)determinare la matrice di passaggio dalla base B alla base S.

[grazia184]

e1, e2, e3 sono tre vettori della base canonica di componenti rispettivamente (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1). Il vettore e1+e3 = (1,0,1). B è la matrice le cui righe sono composte dalle componenti dei vettori e1, e2, e1+e3. Essendo il rango di tale matrice pari a 3 (numero di righe o colonne linearmente indipendenti), tale matrice risulta essere una base(vedi. def base). stesso ragionamento per il punto b. Per calcolare la matrice di passaggio devi risolvere il sistemamdi tre eq. in tre incognite
(1,0,0)= x(1,2,3) + y(2,3,1)+z(3,1,2)
(0,1,0)= x(1,2,3) + y(2,3,1)+z(3,1,2)
(0,0,1)= x(1,2,3) + y(2,3,1)+z(3,1,2)
da cui ricavi i valori x,y,z da inserire come colonne della matrice di passaggio