Base d'induzione ipotesi e tesi come risolvere l'esercizio

[abc121]

Come si svolge un esercizio di questo tipo (con il principio di induzione)?
Data la definizione ricorsiva (in sistema)
f(0) = 0
f(s(n)) = s(s(f(n)))
dove s(n) = n+ 1, dimostrare che per ogni n appartenente a N, f(n) = 2n .

La base è f(0) = 0 = 2 * 0.
E la tesi e l'ipotesi del Passo induttivo?
Grazie mille

Stavo guardando l'es 2 qui corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/9335N/eserc1.pdf
Come arriva a dire 2⋅n! ?

E nell'esercizio 8 qui mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdfcome fa a dimostrare la tesi? Non capisco i passaggi :(

[grazia184]

Il primo es. non mi è chiara la traccia.
Il secondo es. 2^(n+1)= 2^n*2 (per la proprietà delle potenze di ugual base), ma per ipotesi d'induzione 2^n < n! e c'è una proprietà delle disuguaglianze che afferma: moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per una quantità positiva, la disuguaglianza permane, dunque 2*2^n <2*n!. Spero di essere stata chiara.
Nel 3 es. non riesco ad aprire il link.